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已知在长方体AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，（1）求三棱锥A-A'BD的体积；（2）若M，N分别是AD，BC的中点，求棱柱D′DM-C′CN的体积；（3）求该长方体外接球的表面积．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知在长方体AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，
（1）求三棱锥A-A'BD的体积；
（2）若M，N分别是AD，BC的中点，求棱柱D′DM-C′CN的体积；
（3）求该长方体外接球的表面积．

试题解答

见解析

解：（1）由长方体的性质知，三棱锥A'-ABD的高为AA'，
∴V_{三棱锥A′-ABD}=

1

3

S_△ABDAA′=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

，
（2）由长方体的性质知，DC为棱柱D'DM-C'CN的高，
又M，N分别为AD，AC的中点，
∴S_△NCC′=

1

2

NC×CC′=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴棱柱D'DM-C'CN的体积为

1

2

×2=1．
（3）由长方体的性质知，长方体的体对角线为其外接球的直径，
又A'C²=A'A²+AC²=A'A²+AB²+AD²=1²+2²+2²=9，
∴A'C=3，所以外接球的半径为

3

2

，
故该长方体外接球的表面积为9π．

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必修3 湘教版解答题高中数学

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