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  • 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f[cos2(θ+π3)-7]+f[4m-2mcos(θ+π3)]＞f(0)，对一切θ∈[0，π2]，都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f[cos2(θ+
      π
      3
      )-7]+f[4m-2mcos(θ+
      π
      3
      )]＞f(0)，对一切θ∈[0，
      π
      2
      ]，都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：∵奇函数f（x）的定义域为R∴f（0）=0…（2分）
      ∴f[cos2(θ+
      π
      3
      )-7]＞f[-4m+2mcos(θ+
      π
      3
      )]恒成立 …（4分）
      又∵f（x）在R上单调递增∴cos2(θ+
      π
      3
      )-7＞2mcos(θ+
      π
      3
      )-4m…（5分）
      ∴2cos      2(θ+
      π
      3
      )-8＞2mcos(θ+
      π
      3
      )-4m于即cos(θ+
      π
      3
      )+2＞m恒成立 …（8分）．
      令g(θ)=cos(θ+
      π
      3
      )+2
      ∵θ∈[0，
      π
      2
      ]∴θ+
      π
      3
      ∈[
      π
      3
      ，
      5π
      6
      ]∴cos(θ+
      π
      3
      )∈[-
      √3
      2
      ，
      1
      2
      ]…（10分）．
      所以存在m＜g(θ)      min=-
      √3
      2
      +2…（12分）
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