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  • 方程sinπx=[ x2-[ x2 ]+12 ]在区间[0，π]内的所有实根之和为 ．（符号[x]表示不超过x的最大整数）．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]在区间[0，π]内的所有实根之和为          ．（符号[x]表示不超过x的最大整数）．

      试题解答

      2
      解：①若0≤x＜1，则0≤
      x
      2
      ＜
      1
      2
      ，[
      x
      2
      ]=0，
      1
      2
      ＜
      x
      2
      +
      1
      2
      ＜1，则
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      =
      x
      2
      +
      1
      2
      ∈（
      1
      2
      ，1），∴[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=0．
      此时方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=0，此时x=0．
      ②若1≤x＜2，则
      1
      2
      ≤
      x
      2
      ＜1，[
      x
      2
      ]=0，1≤
      x
      2
      +
      1
      2
      ＜
      3
      2
      ，则
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      =
      x
      2
      +
      1
      2
      ∈[1，
      3
      2
      ），∴[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=1．
      此时方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=1，在[1，2）上无解．
      ③若2≤x＜3，则1≤
      x
      2
      ＜
      3
      2
      ，[
      x
      2
      ]=1，
      x
      2
      +
      1
      2
      -[
      x
      2
      ]=
      x
      2
      +
      1
      2
      -1=
      x
      2
      -
      1
      2
      ∈[
      1
      2
      ，1），∴[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=0．
      此时方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=0，在[2，3）上，x=2．
      ④若3≤x≤π，则
      3
      2
      ≤
      x
      2
      ≤
      π
      2
      ，[
      x
      2
      ]=1，
      x
      2
      +
      1
      2
      -[
      x
      2
      ]=
      x
      2
      +
      1
      2
      -1=
      x
      2
      -
      1
      2
      ∈[1，
      π-1
      2
      ]，∴[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=1．
      此时方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]=1，在[3，π）上，方程无解．
      综上：x=0或x=2是方程的根，
      ∴方程sinπx=[
      x
      2
      -[
      x
      2
      ]+
      1
      2
      ]在区间[0，π]内的所有实数根之和为0+2=2．
      故答案为：2．
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