若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003．a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

解：∵a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，
∴首项大于零的递减的等差数列，
∴S₄₀₀₆=

(a₁+a₄₀₀₆)×4006

a₂₀₀₃+a₂₀₀₄

×4006
＞0，
故选B
解析：
解法1：由a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃?a₂₀₀₄＜0，知a₂₀₀₃和a₂₀₀₄两项中有一正数一负数，又a₁＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a₂₀₀₃＞a₂₀₀₄，即a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0．
∴S₄₀₀₆=

4006(a₁+a₄₀₀₆)

4006(a₂₀₀₃+a₂₀₀₄)

＞0，
∴S₄₀₀₇=

4007

?（a₁+a₄₀₀₇）=4007?a₂₀₀₄＜0，
故4006为S_n＞0的最大自然数．选B．
解法2：由a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃?a₂₀₀₄＜0，同解法1的分析得a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，
∴S₂₀₀₃为S_n中的最大值．

∵S_n是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
∴

4007

在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，S_n＞0的最大自然数是4006．

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