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  • 已知数列{xn}满足x1=12，xn+1=11+xn，n∈N*；（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：|xn+1-xn|≤16(25)n-1．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{xn}满足x1=
      1
      2
      ，xn+1=
      1
      1+xn
      ，n∈N*；
      （1）猜想数列{x      2n}的单调性，并证明你的结论；
      （Ⅱ）证明：|x      n+1-xn|≤
      1
      6
      (
      2
      5
      )n-1．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）由x1=
      1
      2
      ，xn+1=
      1
      1+xn
      ，
      ∴      x2=
      2
      3
      ，x3=
      3
      5
      ，x4=
      5
      8
      ，x5=
      8
      13
      ，x6=
      13
      21
      ，…
      由x      2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列
      下面用数学归纳法证明：
      （1）当n=1时，已证命题成立
      （2）假设当n=k时命题成立，即x      2k＞x2k+2
      易知x      2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=
      1
      1+x2k+1
      -
      1
      1+x2k+3
      =
      x2k+3-x2k+1
      (1+x2k+1)(1+x2k+3)

      =
      x2k-x2k+2
      (1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)
      ＞0
      即x      2（k+1）＞x2（k+1）+2
      也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
      （2）当n=1时，|x      n+1-xn|=|x2-x1|=
      1
      6
      ，结论成立
      当n≥2时，易知0＜x      n-1＜1，
      ∴1+x      n-1＜2，xn=
      1
      1+xn-1
      ＞
      1
      2

      ∴(1+x      n)(1+xn-1)=(1+
      1
      1+xn-1
      )(1+xn-1)=2+xn-1≥
      5
      2

      ∴|x      n+1-xn|=|
      1
      1+xn
      -
      1
      1+xn-1
      |=
      |xn-xn-1|
      (1+xn)(1+xn-1)
      ≤
      2
      5
      |xn-xn-1|≤(
      2
      5
      )2|xn-1-xn-2|≤…≤(
      2
      5
      )n-1|x2-x1|
      =
      1
      6
      (
      2
      5
      )n-1
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