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  • 对于函数y=f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以12为其在（0，+∞）上的唯一均值的是①②④（填所有你认为符合条件的函数的序号）①y=(12)x； ②y=1x+1； ③y=-x2+1； ④y=log2x．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数y=f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式
      f(x1)+f(x2)
      2
      =M，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以
      1
      2
      为其在（0，+∞）上的唯一均值的是①②④（填所有你认为符合条件的函数的序号）①y=(
      1
      2
      )x； ②y=
      1
      x+1
      ； ③y=-x2+1； ④y=log2x．

      试题解答

      见解析
      解：对于函数①y=(
      1
      2
      )x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于?x1∈（0，+∞），?x2∈（0，+∞）．使
      f(x1)+f(x2)
      2
      =
      1
      2
      成立，故①对．
      对于函数②y=
      1
      x+1
      ，可直接取任意的x1∈R，验证求出唯一的x2=
      1
      x1
      ，即可得到成立．故②对．
      对于函数③y=-x      2+1，取任意的x1∈R，
      f(x1)+f(x2)
      2
      =
      x
      2
      1
      +x
      2
      2
      2
      =
      1
      2
      ，x2=±
      √1-x
      2
      1
      ，可以两个的x2∈D．故不满足条件．
      对于函数④y=log      2x，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使
      f(x1)+f(x2)
      2
      =
      1
      2
      成立．故成立．
      故答案为：①②④
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