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  • 已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=f(x)?f(y)+1f(y)-f(x)成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0则（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=
      f(x)?f(y)+1
      f(y)-f(x)
      成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0则（　　）

      试题解答

      D
      解：由f（x-y）=
      f(x)?f(y)+1
      f(y)-f(x)
      成立，且f（a）=1，可求得 f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]=
      f(a)?f(-a)+1
      f(-a)-f(a)
      =
      1-f2(a)
      -2f(a)
      =0，
      f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]=
      f(2a)?f(-a)+1
      f(-a)-f(2a)
      =
      1
      -f(a)
      =-1，故A不正确．
      ∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，f（a）=1，又f（-x）=f[（a-x）-a]=
      f(a-x)? f(a)+1
      f(a)-f(a-x)

      =
      f(a-x)+1
      1-f(a-x)
      =
      1+
      f(a)?f(x)+1
      f(x)-f(a)
      1-
      f(a)?f(x)+1
      f(x)-f(a)
      =
      2f(x)
      -2
      =-f（x），∴f（x）为奇函数，故B不正确．
      由于 f（x-a）=
      f(x)?f(a)+1
      f(a)-f(x)
      =
      1+f(x)
      1-f(x)
      =
      1+f(x+a-a)
      1-f(x+a-a)
      =
      1+
      f(x+a)?f(a)+1
      f(a)-f(x+a)
      1-
      f(x+a)?f(x)
      f(a)-f(x+a)
      =-
      1
      f(x+a)
      ，
      所以 f（x）=
      -1
      f(x+2a)
      =f（x+4a），故函数f（x）为周期性等于4a的周期函数，故D正确．
      先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减，由题意可得必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0．
      设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）=
      f(2a)?f(x)+1
      f(2a)-f(2x)
      =
      1
      -f(x)
      ＞0，∴f（x）＜0．
      设2a＜x      1＜x2＜3a，则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）=
      f(x1)?f(x2)+1
      f(x2-x1)
      ＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在[2a，3a]上单调递减，故C不正确．
      故选D．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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