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已知函数y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1),给出以下4个结论:①函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;③当x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x);④函数y=f(|x|)在(k,k+1)( k∈Z)上单调递增.其中所有正确结论的序号为 .试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x∈(2,3)时,f(x)=log
2
(x-1),给出以下4个结论:
①函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;
②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
③当x∈(-1,0)时,f(x)=-log
2
(1-x);
④函数y=f(|x|)在(k,k+1)( k∈Z)上单调递增.
其中所有正确结论的序号为
.
试题解答
①②③
解:令x取x+1代入f(1+x)=-f(1-x)得,f(x+2)=-f(-x)
∵函数y=f(x)为奇函数,∴f(x+2)=f(x),则函数是周期为2的周期函数,
设0<x<1,则2<x+2<3,
∵当x∈(2,3)时,f(x)=log
2
(x-1),
∴f(x)=f(x+2)=log
2
(x+1),
设-1<x<-0,则0<-x<1,
由f(x)=-f(-x)得,f(x)=-log
2
(-x+1),
根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象:
由上图得,函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;
且函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去,其他不变,
则函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
故①②③正确,
而函数y=f(|x|)=
{
f(x) x≥0
f(-x) x<0
,则图象如下图:
由图得,图象关于y轴对称,故y=f(|x|)在(k,k+1)( k∈Z)上不是单调递增的,
故④不正确,
故答案为:①②③.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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