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  • 定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（1）求证：1是函数f（x）的零点；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；（3）若f(14)=12，解不等式f(mx+116)＞1（m＞0）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
      （1）求证：1是函数f（x）的零点；
      （2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
      （3）若f(
      1
      4
      )=
      1
      2
      ，解不等式f(mx+
      1
      16
      )＞1（m＞0）．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）令a=b=1，
      则f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
      ∴f（1）=0
      ∴1是函数f（x）的零点．
      （2）令a=x，b=
      1
      x
      ，
      则f（1）=f（x?
      1
      x
      ）=f（x）+f（
      1
      x
      ）=0，
      ∴f（
      1
      x
      ）=-f（x），
      任意x      1、x2∈（0，+∞），且x2＞x1＞0，
      ∴
      x2
      x1
      ＞1，
      ∴f(
      x2
      x1
      ) =f(x2) +f(
      1
      x1
      ) =f(x2) -f(x1)＜0，
      ∴f（x      2）＜f（x1）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
      （3）∵f(
      1
      16
      ) =f(
      1
      4
      ) +f(
      1
      4
      ) =
      1
      2
      +
      1
      2
      =1，
      ∴不等式f(mx+
      1
      16
      )＞1．即为：f(mx+
      1
      16
      )＞f(
      1
      16
      )，
      又因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
      ∴0＜mx+
      1
      16
      ＜
      1
      16
      ，又∵m＞0，
      解得：-
      1
      16m
      ＜x＜0
      故不等式的解集为：x|-
      1
      16m
      ＜x＜0}．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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