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  • 定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：①对于任意的x，y?R，均有f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）成立；②（x）在[0，1]上单调递增．（Ⅰ） 求证：f（1）=1；（Ⅱ） 判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ） 求满足f(2x-1)≥12的实数x的集合．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：
      ①对于任意的x，y?R，均有f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）成立；
      ②（x）在[0，1]上单调递增．
      （Ⅰ） 求证：f（1）=1；
      （Ⅱ） 判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
      （Ⅲ） 求满足f(2x-1)≥
      1
      2
      的实数x的集合．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证明：令x=y=0，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f(1)=
      1
      2
      ．（1分）
      令x=0，y=1，得f（1）=[f（0）]      2+[f（1）]2．
      若f(1)=
      1
      2
      ，则f(0)=±
      1
      2
      ．
      令x=y=
      1
      2
      ，得f(1)=2[f(
      1
      2
      )]2．
      即f(
      1
      2
      )=±
      1
      2
      ，
      因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f(
      1
      2
      )＜f(1)，矛盾！
      因此f（0）=0，f（1）=[f（1）]      2，f（1）=1．（3分）
      （Ⅱ） f（x）是奇函数 （4分）
      令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
      令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
      即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
      代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
      （Ⅲ）由（Ⅱ）可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
      即：函数f（x）的最小正周期为4．
      令x=y=
      1
      3
      ，f(
      2
      3
      )=2f(
      1
      3
      )f(
      2
      3
      )，因为f(
      2
      3
      )＞f(0)=0，，所以f(
      1
      3
      )=
      1
      2
      ．
      由②得：f(
      5
      3
      )=
      1
      2
      ．
      根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，
      观察得，若f(2x-1)≥
      1
      2
      ，
      则
      1
      3
      +4k≤2x-1≤
      5
      3
      +4k，k∈Z，
      所以
      2
      3
      +2k≤x≤
      4
      3
      +2k，k∈Z，x∈{x|
      2
      3
      +2k≤x≤
      4
      3
      +2k，k∈Z}（8分）
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