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已知f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0恒成立.(1)求f(1),f(14),f(8)的值.(2)证明:函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.(3)求关于x的不等式f(x)+f(x-2)≤3的解集.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0恒成立.
(1)求f(1),f(
1
4
),f(8)的值.
(2)证明:函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
(3)求关于x的不等式f(x)+f(x-2)≤3的解集.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1得:f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0;
令y=
1
x
,
则f(x)+f(
1
x
)=f(x?
1
x
)=f(1)=0,
∴f(
1
4
)+f(4)=0,
又当x>1时,f(x)>0恒成立,f(2)=1,
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2,
∴f(
1
4
)=-f(4)=-2;
同理可得,f(8)=3f(2)=3;
(2)设0<x
1
<x
2
,
则
x
2
x
1
>1,
∵当x>1时,f(x)>0恒成立,f(x)+f(
1
x
)=0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
)+f(
1
x
1
)=f(
x
2
x
1
)>0,
∴f(x
1
)<f(x
2
),
∴函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增;
(3)∵f(x)+f(x-2)≤3=f(8),且函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,
∴
{
x>0
x-2>0
x(x-2)≤8
,即
{
x>2
(x-4)(x+2)≤0
,
解得:2<x≤4,
∴不等式f(x)+f(x-2)≤3的解集为{x|2<x≤4}.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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