对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）={f(x)?g(x) (当x∈Df且x∈Dg)f(x) (当x∈Df且x?Dg)g(x) (当x?Df且x∈Dg)（Ⅰ）若函数f(x)=1x-1，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（Ⅱ）求问题（1）中函数h（x）的值域；（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

{	f(x)?g(x) (当x∈D_f且x∈D_g) f(x) (当x∈D_f且x?D_g) g(x) (当x?D_f且x∈D_g)

（Ⅰ）若函数f(x)=

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=

x-1

，g（x）=x²，
∴h（x）=

{	g(x)，x=1 f(x)?g(x)，x≠1

{

x²，x=1

x²

x-1

，x≠1

，
（Ⅱ）当x=1时，h（x）=g（x）=1；
当x≠1时，h（x）=f（x）?g（x）=

x²

x-1

=x-1+

x-1

+2，
若x＞1，则h（x）≥4，其中等号x=2时成立，
若x＜1，则h（x）≤0，其中等号x=0时成立，
∴函数h（x）的值域为（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）；
（Ⅲ）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

，
则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

）+cos2（x+

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．

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