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  • 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(13)=1．（1）求f（1）的值；（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(
      1
      3
      )=1．
      （1）求f（1）的值；
      （2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
      （3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
      （2）∵f(
      1
      3
      )=1，
      ∴f(
      1
      9
      )=f(
      1
      3
      ×
      1
      3
      )=f(
      1
      3
      )+f(
      1
      3
      )=2
      ∴m=
      1
      9

      （3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f(
      1
      9
      )，
      又由y=f（x）是定义在R      +上的减函数，得：
      {
      x(2-x)＞
      1
      9
      x＞0
      2-x＞0
      解之得：x∈(1-
      2
      √2
      3
      ，1+
      2
      √2
      3
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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