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  • 对于函数f(x)=1ax-1+12(a＞0，且a≠1)（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；（3）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f(x)=
      1
      ax-1
      +
      1
      2
      (a＞0，且a≠1)
      （1）判断函数f（x）的奇偶性；
      （2）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
      （3）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由ax-1≠0，得x≠0，∴定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
      ∵f(x)=
      2+ax-1
      2(ax-1)
      =
      ax+1
      2(ax-1)
      ，f(-x)=
      a-x+1
      2(a-x-1)
      =
      1+ax
      2(1-ax)
      =-
      ax+1
      2(ax-1)
      =-f(x)，
      ∴f（x）为奇函数．
      （2）任取x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
      1
      ax1-1
      -
      1
      ax2-1
      =
      ax2-ax1
      (ax1-1)(ax2-1)
      ，
      ①当0＜a＜1时，      ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2-ax1＜0，ax1-1＜0，ax2-1＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）单调递增；
      ②当a＞1时，      ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2-ax1＞0，ax1-1＞0，ax2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）单调递减．
      综上，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞1时，f（x）在（0，+∞）为减函数．
      （3）由（2）知：当2＜a＜4时，函数f（x）在[1，3]上是减函数，由（1）知：f（x）为奇函数，所以f（x）在[-3，-1]上也为减函数，则      当x=-3时，f(x)max=f(-3)=-f(3)=-
      1
      a3-1
      -
      1
      2
      =-
      a3+1
      2(a3-1)
      当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-f(1)=-
      1
      a-1
      -
      1
      2
      =-
      a+1
      2(a-1)
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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