试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围（3）讨论关于x的方程lnxf(x)=x2-2ex+m的根的个数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
      （1）求k的值
      （2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t      2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
      （3）讨论关于x的方程
      lnx
      f(x)
      =x2-2ex+m的根的个数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
      所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
      则ln（e      0+k）=0解得k=0，
      显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
      （2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
      因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0 在[-1，1]上恒成立，
      ∴λ≤-1，g（x）      max=g（-1）=-λ-sin1，
      只需-λ-sin1≤t      2+λt+1（λ≤-1），
      ∴（t+1）λ+t      2+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
      令h（λ）=（t+1）λ+t      2+sin1+1（λ≤-1）
      则
      {
      t+1≤0
      h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0
      解得t≤-1
      （3）由（1）得f（x）=x
      ∴方程转化为
      lnx
      x
      =x2-2ex+m，令F（x）=
      lnx
      x
      （x＞0），G（x）=x2-2ex+m （x＞0），（8分）
      ∵F'（x）=
      1-lnx
      x2
      ，令F'（x）=0，即
      1-lnx
      x2
      =0，得x=e
      当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
      当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）
      当x=e时，F（x）      max=F（e）=
      1
      e
      （10分）
      而G（x）=（x-e）      2+m-e2 （x＞0）
      ∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）
      当x=e时，G（x）      min=m-e2（12分）
      ∴当m-      e2＞
      1
      e
      ，即m＞e2+
      1
      e
      时，方程无解；
      当m-      e2=
      1
      e
      ，即m=e2+
      1
      e
      时，方程有一个根；
      当m-      e2＜
      1
      e
      ，即m＜e2+
      1
      e
      时，方程有两个根；（14分）
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn