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定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=2x4x+1．（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）求出f（x）在R上的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

试题解答

见解析

解：（1）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂　
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁(4^x₂+1)-2^x₂(4^x₁+1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

2^x₁4^x₂+2^x₁-2^x₂4^x₁-2^x₂

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

2^x₁+2x₂ +2^x₁-2^x₂+2x₁ -2^x₂

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

(2^x₁+x₂ -1)(2^x₂ -2^x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

∵x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂，
∴2^x₁+x₂-1＞0，2^x₂-2^x₁＞0，4^x₁+1 ＞0，4^x₂+1 ＞0
∴

(2^x₁+x₂ -1)(2^x₂ -2^x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2^x

4^x+1

又∵f（0）=0
∴f(x)=

{

2^x

4^x+1

(x＞0)

0(x=0)

2^x

4^x+1

(x＜0)

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必修1 人教A版单选题高中数学

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=2x4x+1．（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）求出f（x）在R上的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题