对于函数f(x)=a-2bx+1 （a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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对于函数f(x)=a-

b^x+1

（a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-

b^x₁+1

-（ a-

b^x₂+1

）=

b^x₂+1

b^x₁+1

2(b^x₁-b^x₂)

(b^x₁+1)?(b^x₂+1)

当b＞1时，∵x₁＜x₂∴b^x₁＜b^x₂∴b^x₁-b^x₂＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x₁＜x₂∴b^x₁＞b^x₂∴b^x₁-b^x₂＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，f(-x)=1-

b^-x+1

b^-x-1

b^-x+1

1-b^x

1+b^x

，f(x)=1-

b^x+1

b^x-1

b^x+1

满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

对于函数f(x)=a-2bx+1 （a∈R，b＞0且b≠1）（1）判断函数的单调性并证明；（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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