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  • 定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；（Ⅲ）若f(15) =-12 ，试求f(12)-f(111)-f(119)的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
      （Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
      （Ⅱ）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；
      （Ⅲ）若      f(
      1
      5
      ) =-
      1
      2
      ，试求f(
      1
      2
      )-f(
      1
      11
      )-f(
      1
      19
      )的值．

      试题解答

      f(
      1
      5
      )=-
      1
      2
      解：（Ⅰ）令x=y=0?f（0）=0．
      令y=-x，则f（x）+f（-x）=0?f（-x）=-f（x）?f（x）在（-1，1）上是奇函数．
      （Ⅱ）设0＜x      1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
      x1-x2
      1-x1x2
      )，
      而x      1-x2＜0，0＜x1x2＜1?
      x1-x2
      1-x1x2
      ＜0．
      ∴f(
      x1-x2
      1-x1x2
      )＞0．即　当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．
      ∴f（x）在（0，1 ）上单调递减．
      （Ⅲ）由于f(
      1
      2
      )-f(
      1
      5
      )=f(
      1
      2
      )+f(-
      1
      5
      )=f(
      1
      2
      -
      1
      5
      1-
      1
      2×5
      )=f(
      1
      3
      )，
      f(
      1
      3
      )-f(
      1
      11
      )=f(
      1
      4
      )，f(
      1
      4
      )-f(
      1
      19
      )=f(
      1
      5
      )，
      ∴f(
      1
      2
      ) -f(
      1
      11
      ) -f(
      1
      19
      ) =2f(
      1
      5
      ) =-1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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