已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．（1）求函数f（x）和g（x）；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性．（3）求函数f（x）+g（x）在（0，√2]上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性．
（3）求函数f（x）+g（x）在（0，

√2

]上的最小值．

见解析

解：（1）设f（x）=k₁x，g（x）=

k₂

，其中k₁k₂≠0
则∵f（1）=1，g（1）=2，
∴k₁×1=1，

k₂

=2
∴k₁=1，k₂=2
∴f（x）=x，g（x）=

；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=x+

∴函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）…（9分）
因为对定义域内的每一个x，都有h（-x）=-（x+

）=-h（x）
∴函数h（x）是奇函数，即函数f（x）+g（x）是奇函数；
（3）由（2）知h（x）=x+

，则h′(x)=1-

x²

当x∈（0，

√2

]时，h′（x）≤0，
∴函数h（x）在（0，

√2

]上单调递减
∴x=

√2

时，h（x）取得最小值为2

√2

即函数f（x）+g（x）在（0，

√2

]上的最小值是2

√2

．

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