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  • 已知函数f（x）=loga（1+sin2x2-sin4x2），其中0＜a＜1．（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）函数f（x）是否周期函数？若是，最小正周期是多少？（3）试写出函数f（x）的单调区间和最大值、最小值；（4）当a=12时，试研究关于x的方程f（x）=b在[-π2，3π4]上的解的个数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=loga（1+sin2
      x
      2
      -sin4
      x
      2
      ），其中0＜a＜1．
      （1）判定函数f（x）的奇偶性；
      （2）函数f（x）是否周期函数？若是，最小正周期是多少？
      （3）试写出函数f（x）的单调区间和最大值、最小值；
      （4）当a=
      1
      2
      时，试研究关于x的方程f（x）=b在[-
      π
      2
      ，
      3π
      4
      ]上的解的个数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称
      且f（-x）=log      a（1+sin2
      x
      2
      -sin4
      x
      2
      ）=f（x）对x∈R恒成立，
      ∴函数f（x）是偶函数．
      （2）f（x）=log      a（1+sin2
      x
      2
      -sin4
      x
      2
      ）=loga[1+sin2
      x
      2
      （1-sin2
      x
      2
      ）]
      =log      a[1+
      1
      4
      sin2x]
      =log      a（
      9
      8
      -
      1
      8
      cos2x）
      ∴函数f（x）是周期函数，最小正周期是π
      （3）函数f（x）的单调增区间为[（k-
      1
      2
      ）π，kπ]，k∈Z；
      函数f（x）的单调递减区间为[kπ，(k+
      1
      2
      )π]，k∈Z
      ∴函数f（x）的最大值为0； 函数f（x）的最小值为log      a
      5
      4

      （4）由数形结合得，

      当b＞0或b＜log
      1
      2
      5
      4
      时，方程无解；
      当b=0时方程有一个解；
      当b=log
      1
      2
      5
      4
      或b∈(log
      1
      2
      9
      8
      ，0)时方程有2个解；
      当b∈(log
      1
      2
      5
      4
      ，log
      1
      2
      9
      8
      ]时方程有3个解．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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