设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²xf'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=

或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=

处取得极小值f(

)，且f(

)=-

a³；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=

处取得极大值f(

)，且f(

)=-

a³．

（Ⅲ）证明：由a＞3，得

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设g(x)=cos²x-cosx=(cosx-

)²-

，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．
所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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