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  • 对于函数f(x)=x2+lg(x+√x2+1)有以下四个结论：①f（x）的定义域为R；②f（x）在（0，+∞）上是增函数；③f（x）是偶函数；④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a2-m．正确的命题是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f(x)=x2+lg(x+
      √x2+1
      )有以下四个结论：
      ①f（x）的定义域为R；
      ②f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      ③f（x）是偶函数；
      ④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a      2-m．
      正确的命题是                ．

      试题解答

      ①②④
      解：①要使函数有意义，须x+
      √x2+1
      ＞0，而x+
      √x2+1
      ＞0恒成立，
      ∴函数的定义域为R，故①正确；
      ②已知函数y=x      2在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（x+
      √x2+1
      ）也是增函数，
      令t=x+
      √x2+1
      ，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t=x+
      √x2+1
      在R上是增函数，
      根据复合函数的单调性可知y=lg（x+
      √x2+1
      ）在R上是增函数，
      ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确；
      ③f(-1)=1 +lg(-1+
      √1+1
      )=1 +lg(-1+
      √2
      )，
      而f(1)=1 +lg(1+
      √1+1
      )=1 +lg(1+
      √2
      )，
      ∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错；
      ④令g（x）=f（x）-x      2=lg（x+
      √x2+1
      ），则g（x）+g（-x）=lg（x+
      √x2+1
      ）+lg（-x+
      √(-x)2+1
      ）
      =lg[(x+
      √x2+1
      )(-x+
      √(-x)2+1
      )]=lg1=0，
      ∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数；
      ∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a      2=m-a2，
      ∴g（-a）=-g（a）=-m+a      2，
      ∴f（-a）=g（-a）+a      2=2a2-m，故④正确；
      故正确的命题是①②④，
      故答案为：①②④．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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