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  • 已知函数y=lgx-1x+1．（1）讨论该函数的奇偶性；（2）分析该函数的单调性；（3）求该函数在x∈[2，4]的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=lg
      x-1
      x+1
      ．
      （1）讨论该函数的奇偶性；
      （2）分析该函数的单调性；
      （3）求该函数在x∈[2，4]的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为
      x-1
      x+1
      ＞0，
      ∴（x-1）（x+1）＞0，
      ∴x＜-1或x＞1，
      ∴函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
      ∵f(-x)=lg
      -x-1
      -x+1
      =lg
      x+1
      x-1

      =lg(
      x-1
      x+1
      )-1=-lg
      x-1
      x+1
      =-f(x)，
      ∴f（-x）=-f（x），
      ∴f（x）为奇函数，
      （2）f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为增函数，证明如下：
      先证明f（x）在（1，+∞）上为增函数，
      ∵函数y=lg
      x-1
      x+1
      =lg
      x+1-2
      x+1
      =lg(1-
      2
      x+1
      )，
      任意设x      1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则
      f（x      1）-f（x2）
      =lg(1-
      2
      x1+1
      )-lg(1-
      2
      x2+1
      )，
      ∵1＜x      1＜x2，
      ∴2＜x      1+1＜x2+1，
      ∴0＜
      1
      x2+1
      ＜
      1
      x1+1
      ＜
      1
      2
      ，
      ∴0＜
      2
      x2+1
      ＜
      2
      x1+1
      ＜1，
      ∴0＜1-
      2
      x1+1
      ＜1-
      2
      x2+1
      ＜1，
      ∴lg(1-
      2
      x1+1
      )＜lg(1-
      2
      x2+1
      )＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，
      同理，可得函数f（x）在（-∞，-1）上为增函数，
      （3）由（2）知，函数在区间[2，4]上为增函数，
      ∵f(2)=lg
      1
      3
      ，f(4)=lg
      3
      5

      ∴函数在区间[2，4]上值域为[lg
      1
      3
      ，lg
      3
      5
      ]．
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