已知b函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）．（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）当a=12时，求函数f（x）的最值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知b函数f（x）=

x²+2x+a

，x∈[1，+∞）．
（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）当a=

时，求函数f（x）的最值．

见解析

解：（1）当a＜0时，函数f（x）是[1，+∞）单调增函数．（1分）
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x₁²+2x₁+a

x₁

x₂²+2x₂+a

x₂

(x₁-x₂)(x₁x₂-a)

x₁x₂

，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴

(x₁-x₂)(x₁x₂-a)

x₁x₂

＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由单调性定义知f（x）为[1，+∞）单调增函数．（8分）
（2）当a=

时，同理可证f（x）在[1，+∞）是增函数，（10分）
∴当x=1时，f（x）的最小值为f(1)=

（12分）
又f（x）无最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值为

．（15分）
（若用导数处理则类似给分）

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