已知函数 f（x）=log3（3x-1），（1）求函数f（x）的定义域；（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．（3）若f-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（3）若f^-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值．

见解析

解：（1）函数 f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定义域是（0，+∞）．
（2）设在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=log₃

3^x₂-1

3^x₁-1

由y=3^x在定义域（0，+∞）内单调递增得：

3^x₂-1

3^x₁-1

＞ 1，∴log₃

3^x₂-1

3^x₁-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log₃

3^2x+1

3^x-1

log₃(3^x-1+

3^x-1

+2)≥log₃(2

√2

+2)
当x=log₃(

√2

+1)时，F（x）最小值为log₃(2

√2

+2)

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