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已知函数f（x）=a-1|x|．（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=a-

1

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-

1

x

，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x₁

）-（a-

1

x₂

）=

1

x₂

-

1

x₁

=

x₁-x₂

x₁x₂

＜0．∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由题意a-

1

x

＜2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+

1

x

，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，∴a的取值范围为（-∞，3]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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