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  • 已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（a2，0）成中心对称图形．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
      （1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
      （2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（
      a
      2
      ，0）成中心对称图形．

      试题解答

      见解析
      解：（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
      则F（x      1）-F（x2）
      =f（x      1）-f（a-x1）-[f（x2）-f（a-x2）]．
      =[f（x      1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]．
      ∵x      1＜x2，∴-x1＞-x2，∴a-x1＞a-x2，
      ∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x      1）＜f（x2），f（a-x2）＜f（a-x1）．
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，f（a-x2）-f（a-x1）＜0．
      ∴[f（x      1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]＜0．
      即F（x      1）＜F（x2），
      ∴F（x）是R上的增函数．
      （2）设M（x      0，y0）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x0，y0）关于点（
      a
      2
      ，0）的对称点为N（m，n），
      则
      a
      2
      =
      x0+m
      2
      ，0=
      y0+n
      2
      ，，∴m=a-x0，n=-y0，
      ∵把m=a-x      0代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
      得，f（a-x      0）-f（a-a+x0）=f（a-x0）-f（x0）=-y0=n
      即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
      ∴函数y=F（x）的图象关于点（
      a
      2
      ，0）成中心对称图形．
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