（1）求证：函数f(x)=x+3x+1在区间（-1，+∞）上是单调减函数；（2）写出函数f(x)=x+1x+3的单调区间；（3）讨论函数f(x)=x+ax+2在区间（-2，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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（1）求证：函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数；
（2）写出函数f(x)=

x+1

x+3

的单调区间；
（3）讨论函数f(x)=

x+a

x+2

在区间（-2，+∞）上的单调性．

见解析

（1）证明：任取x₁＞x₂＞-1，则f（x₁）-f（x₂）=

x₁+3

x₁+1

x₂+3

x₂+1

(x₁+3)(x₂+1)-(x₂+3)(x₁+1)

(x₁+1)(x₂+1)

2(x₂-x₁)

(x₁+1)(x₂+1)

∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0；x₂-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f(x)=

x+3

x+1

在区间（-1，+∞）上是单调减函数．
解：（2）f(x)=

x+1

x+3

=1-

x+3

，
∴函数的定义域是（-∞，-3）∪（-3，+∞），
则函数的单调增区间（-∞，-3），（-3，+∞）．
（3）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

，
当a＞2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递减，
当a=2时，无单调性；当a＜2时，此函数在区间（-2，+∞）上单调递增．

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