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  • 已知f（x）=(1+2x-1)-2(x＞1)．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）的解析式及其定义域；（2）判断函数f-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；（3）若当x∈(116，14]时，不等式(1-√x)．f-1(x)＞a(a-√x)恒成立，试求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=(1+
      2
      x-1
      )-2(x＞1)．
      （1）求函数f（x）的反函数f      -1（x）的解析式及其定义域；
      （2）判断函数f      -1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；
      （3）若当x∈(
      1
      16
      ，
      1
      4
      ]时，不等式(1-
      √x
      )．f-1(x)＞a(a-
      √x
      )恒成立，试求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令y=x，则有x=(1+
      2
      y-1
      )-2
      解得：      f-1(x)=
      1+
      √x
      1-
      √x
      (x∈(0，1))；（4分）
      （2）设0＜x      1＜x2＜1，则f-1(x1)-f-1(x2)=
      1+
      √x1
      1-
      √x1
      -
      1+
      √x2
      1-
      √x2
      =
      2(
      √x1
      -
      √x2
      )
      (1-
      √x1
      )(1-
      √x2
      )

      =
      2(
      √x1
      -
      √x2
      )(
      √x1
      +
      √x2
      )
      (1-
      √x1
      )(1-
      √x2
      )(
      √x1
      +
      √x2
      )
      =
      2(x1-x2)
      (1-
      √x1
      )(1-
      √x2
      )(
      √x1
      +
      √x2
      )

      由0＜x      1＜x2＜1，有所以f-1（x1）-f-1（x2）＜0，即函数f-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
      （3）当x∈(
      1
      16
      ，
      1
      4
      ]时，不等式(1-
      √x
      )．f-1(x)＞a(a-
      √x
      )恒成立，
      即不等式
      √x
      (1+a)＞a2-1恒成立
      当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于a＜
      √x
      +1恒成立，由x∈(
      1
      16
      ，
      1
      4
      ]
      所以a≤
      5
      4
      ，从而得-1＜a≤
      5
      4

      当1+a=0即a=-1时，不等式
      √x
      (1+a)＞a2-1不成立
      当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于a＞
      √x
      +1恒成立，
      由x∈(
      1
      16
      ，
      1
      4
      ]所以a＞
      3
      2
      ，又a＜-1，所以a不存在．综上可得：-1＜a≤
      5
      4
      ．（12分）
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