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  • 已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=ax+
      1
      x
      (a＞0)
      （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
      （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）任意取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2．
      f(x      1)-f(x2)=(x1+
      1
      x1
      )-(x2+
      1
      x2
      )=(x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )=(x1-x2)
      x1x2-1
      x1x2

      因为x      1＜x2，所以x1-x2＜0
      0＜x      1x2＜1，所以x1x2-1＜0
      所以f（x      1）-f（x2）＞0，
      即f（x      1）＞f（x2），
      所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
      （2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+
      1
      x
      =
      ax2+1
      x
      ≥1恒成立，
      等价于当x∈（0，+∞）时ax      2-x+1≥0恒成立即可，
      ∴a≥
      x-1
      x2
      在x∈（0，+∞）恒成立 又
      1
      x
      ∈（0，+∞），
      令g（x）=
      x-1
      x2
      =-（
      1
      x
      ）2+
      1
      x
      =-（
      1
      x
      -
      1
      2
      ）2+
      1
      4
      ≤
      1
      4

      ∴a≥
      1
      4

      故a的取值范围[
      1
      4
      ，+∞）．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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