• 定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b),(1)求f(0)的值;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b),
      (1)求f(0)的值;
      (2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
      (3)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.

      试题解答


      见解析
      (1)解:因为对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b),所以令a=b=0,则有f(0)=f(0)?f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1.
      (2)证明:当x>0时,f(x)>1,当x=0时,f(0)=1,所以只需证明当x<0时,f(x)>0即可.
      当x<0时,-x>0,f(0)=f(x)?f(-x),因为f(-x)>1,所以0<f(x)<1,
      故对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
      (3)是增函数,证明如下
      设x
      1<x2,则x2-x1>0,
      f(x
      2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]f(x1),
      由题意知f(x
      2-x1)>1,f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
      所以f(x)在R上为增函数.

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