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  • 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体①函数f（x）在其定义域上是单调函数．②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[a2，b2]．（1）判断函数f(x)=x+2x(x＞0)是否属于M，说明理由．（2）判断g（x）=-x3是否属于M，说明理由，若是，求出满足②的区间[a，b]．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体
      ①函数f（x）在其定义域上是单调函数．
      ②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[
      a
      2
      ，
      b
      2
      ]．
      （1）判断函数f(x)=x+
      2
      x
      (x＞0)是否属于M，说明理由．
      （2）判断g（x）=-x      3是否属于M，说明理由，若是，求出满足②的区间[a，b]．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=x+
      2
      x
      (x＞0)在（0，
      √2
      ）上单调递减，在（
      √2
      ，+∞）上单调递增
      ∴函数f(x)=x+
      2
      x
      (x＞0)不属于M；
      （2）∵g（x）=-x      3在R上递减
      ∴若g（x）=-x      3属于M，则
      {
      -a3=
      b
      2
      -b3=
      a
      2

      ∴a=-
      √2
      2
      ，b=
      √2
      2

      ∴满足②的区间为[-
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ]
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