如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E则下列结论：①△ADE≌△BDF：②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB；④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是（）试题及答案-单选题-云返教育

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如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E则下列结论：①△ADE≌△BDF：②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB；④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是（　　）

试题解答

解：①∵DC是∠ACB的外角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠F=∠AED=90°，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
故①正确；
②在EA上截取EM=EC，
∵DE⊥AC，∠MDE=∠CDE，
∴DM=DC，
∵∠CDE=∠CDF，
∴∠CDF=∠EDM，
∵Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠DAM=∠DBC，∠ADE=∠BDF，
∴∠ADM=∠CDB，
∴△AMD≌△ACD（AAS），
∴AM=BC，
∴AE=AM+ME=BC+EC；
故②正确；

③∵DM=DC，
∴∠DMC=∠DCM=∠DCF，
∵∠ACB+∠ECD+∠DCF=180°，∠DMC+∠DCM+∠MDC=180°，
∴∠MDC=∠ACB，
∵∠ADM=∠BDC，
∴∠ADB=∠ADM+∠MDB=∠MDB+∠CDB=∠MDC，
∴∠ADB=∠ACB；
故③正确；
④∵∠EMD=∠MAD+∠MDA，
∵∠BAC=∠MDA，
∴∠EMD=∠MAD+∠BAC=∠DAB，
∵AD=BD，DM=CD，
∴∠ABD=∠DAB，∠CMD=∠MCD，
∴∠MCD=∠ABD，
∵∠DCF=∠MCD，
∴∠FCD=∠ABD，
∴∠ECF+∠FCD=∠ABD+∠FCD≠90°，
故④错误．
故正确的有：①②③．
故选A．

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八年级上册人教版单选题初二数学

如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E则下列结论：①△ADE≌△BDF：②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB；④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

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