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  • 如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=√2PE；③AE?CF=√2AP?EF；④BF?PB+CF?AC=√2AB2．其中正确的结论是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=
      √2
      PE；③AE?CF=
      √2
      AP?EF；④BF?PB+CF?AC=
      √2
      AB2．其中正确的结论是（　　）

      试题解答

      C
      解：过点F作FG⊥BC于G，
      ∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
      ∴∠ABC=∠ACB=45°，
      ∵AD是高，EF是∠ABC的平分线，
      ∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ABF=∠CBF=
      1
      2
      ∠ABC=22.5°，FG=FA，
      ∴△ABD、△ACD与△CFG是等腰直角三角形，
      ∴AD=BD=CD，
      ∵∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠BDE=90°，
      ∴△ABF∽△DBE，
      ∴AF：DE=AB：BD=
      √2
      ，
      ∴AF=
      √2
      DE，
      ∴FG=
      √2
      DE，
      ∵CF=
      √2
      FG=
      √2
      ×
      √2
      DE=2DE，
      故①正确；
      过点P作PH⊥AD于H，
      ∵∠APB=45°，∠EAF=45°，∠AEP=∠BED=90°-∠CBF=67.5°，
      ∴∠PAE=180°-∠APB-∠AEP=67.5°，∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=67.5°，
      ∴∠PAE=∠AEP，∠EAF=∠AEF，
      ∴PA=PE，AE=AF，
      ∴AH=HE，
      ∴AE=FG=
      √2
      DE，
      ∴HE=
      √2
      2
      DE，
      ∵∠PHD=∠BDH=90°，
      ∴PH∥BD，
      ∴PE：BE=EH：ED=
      √2
      ：2，
      ∴BE=
      √2
      PE；
      故②正确；
      ∵∠EAF=∠APB，∠AEF=∠AEP，
      ∴△AEF∽△PEA，
      ∴AP：AE=AE：EF，
      ∴AE      2=AP?EF，
      ∵CF=
      √2
      FG=
      √2
      AE，
      ∴AE?CF=
      √2
      AE2=
      √2
      AP?EF；
      故③正确；
      ∵∠ABP=∠CBP，∠APB=∠ACB=45°，
      ∴△ABP∽△FBC，
      ∴AB：BF=PB：BC，
      ∴AB?BC=BF?PB，
      ∵BC=
      √2
      AB，
      ∴BF?PB=AB?BC=
      √2
      AB2，
      ∵CF=
      √2
      FG=
      √2
      AF，
      ∴CF=
      √2
      √2
      +1
      AC=（2-
      √2
      ）AC，
      ∴CF?AC=（2-
      √2
      ）AC?AC=（2-
      √2
      ）AB2，
      ∴BF?PB+CF?AC=
      √2
      AB2+（2-
      √2
      ）AB2=2AB2．
      故④错误．
      故选C．
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      八年级上册华师大版单选题初二数学

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