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如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60°，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60°，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于（　　）

解：延长FE交CB的延长线于W，过E作EM⊥AD交DA延长线于M，过F作FN⊥CD于N，过A作AR⊥BC于R，连接FH、EG，
则∠M=∠FND=∠ARB=90°，
∵AB=4，∠B=60°，
∴∠BAR=30°，
∴BR=2，AR=2

√3

，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，AB=AD=CB=4，
∵BE=CH=4，
∴AE=DH=2，
在△AEF和△CHG中

{	AF=CG ∠A=∠C AE=CH

，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF=GH，∠AFE=∠HGC，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠W，
∴∠W=∠HGC，
∴EF∥GH，
∵EF=GH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴△PEF和△PGH的面积和S=

EF×h_EF+

GH×h_GH=

S_{平行四边形EFHG}；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠MAE=60°，
∵∠M=90°
∴∠MEA=30°，
∵AB=4，BE=2，
∴AE=2，
∴AM=

AE=1，
由勾股定理得：ME=

√3

，
即△AEF的面积是S₁=

×AF×ME=

×1×

√3

，
同理可得△CHG的面积S₂=

√3

，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∵∠FND=90°，
∴∠DFN=30°，
∴DN=

DF=

×（4-1）=

，
由勾股定理得：FN=

√3

，
∴△FHD的面积S₃=

DH×FN=

×（4-2）×

√3

，
同理可得△BEG的面积S₄=

√3

，
∴平行四边形EFHG的面积是S_菱形ABCD-S₁-S₂-S₃-S₄=4×2

√3

，
即△PEF和△PGH的面积和是

S_{平行四边形EFHG}=2

√3

，
故选B．

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