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如图所示,质量为m的小球,由长为l的细线系住,线能承受的最大拉力是9mg,细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直线,E为AB上的一点,且AE=0.5l,过E作水平线EF,在EF上钉铁钉D,现将小球拉直水平,然后由静止释放,小球在运动过程中,不计细线与钉子碰撞时的能量损失,不考虑小球与细线间的碰撞.(1)若钉铁钉位置在E点,求细线与钉子碰撞前后瞬间,细线的拉力分别是多少?(2)若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动,求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
如图所示,质量为m的小球,由长为l的细线系住,线能承受的最大拉力是9mg,细线的另一端固定在A点,AB是过A的竖直线,E为AB上的一点,且AE=0.5l,过E作水平线EF,在EF上钉铁钉D,现将小球拉直水平,然后由静止释放,小球在运动过程中,不计细线与钉子碰撞时的能量损失,不考虑小球与细线间的碰撞.
(1)若钉铁钉位置在E点,求细线与钉子碰撞前后瞬间,细线的拉力分别是多少?
(2)若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动,求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值.
试题解答
见解析
解:(1)小球释放后沿圆周运动,运动过程中机械能守恒,设运动到最低点速度为v,由机械能守恒定律得:
mgl=
1
2
mv
2
,碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变,碰钉子前瞬间圆周运动半径为l,碰钉子前瞬间线的拉力为F
1
,碰钉子后瞬间圆周运动半径为
1
2
l,碰钉子后瞬间线的拉力为F
2
,由圆周运动、牛顿第二定律得:
F
1
-mg=
mv
2
l
,
F
2
-mg=
mv
2
1
2
l
得F
1
=3mg,F
2
=5mg
(2)设在D点绳刚好承受最大拉力,记DE=x
1
,则:AD=
√
x
1
2
+(
l
2
)
2
悬线碰到钉子后,绕钉做圆周运动的半径为:r
1
=l-AD=l-
√
x
1
2
+(
l
2
)
2
当小球落到D点正下方时,绳受到的最大拉力为F,此时小球的速度v
1
,由牛顿第二定律有:
F-mg=m
v
1
2
r
1
结合F≤9mg
由机械能守恒定律得:mg (
l
2
+r
1
)=
1
2
mv
1
2
由上式联立解得:x
1
≤
2
3
l
随着x的减小,即钉子左移,绕钉子做圆周运动的半???越来越大.转至最高点的临界速度也越来越大,但根据机械能守恒定律,半径r越大,转至最高点的瞬时速度越小,当这个瞬时速度小于临界速度时,小球就不能到达圆的最高点了.
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点,设EG=x
2
,
则:AG=
√
x
2
2
+(
l
2
)
2
,r
2
=l-AG=l-
√
x
2
2
+(
l
2
)
2
在最高点:mg≤
v
1
2
r
2
由机械能守恒定律得:mg (
l
2
-r
2
)=
1
2
mv
1
2
联立得:x
2
≥
√
7
6
l
钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是:
√
7
6
l≤x≤
2
3
l
答:(1)若钉铁钉位置在E点,细线与钉子碰撞前后瞬间,细线的拉力分别是3mg和5mg;
(2)若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动,则钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围为
√
7
6
l≤x≤
2
3
l.
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