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  • 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知正方体的棱长为√2，M、N分别在AD1与DB上，若AM=BN=x．求证：（1）MN∥面CDD1C1；（2）设MN=y，求y=f（x）的表达式；（3）求MN的最小值及x的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知正方体的棱长为
      √2
      ，M、N分别在AD1与DB上，若AM=BN=x．求证：
      （1）MN∥面CDD      1C1；
      （2）设MN=y，求y=f（x）的表达式；
      （3）求MN的最小值及x的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）建立空间坐标系，以D原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴．
      正方体的棱长为
      √2
      ，M、N分别在AD1与DB上，若AM=BN=x．
      D（0，0，0），A（
      √2
      ，0，0），M（
      √2
      -
      √2
      2
      x，0.
      √2
      2
      x），N（
      √2
      -
      √2
      2
      x，
      √2
      -
      √2
      2
      x，0）
      MN
      =（0，
      √2
      -
      √2
      2
      x，-
      √2
      2
      x），面CDD1C1的法向量为
      n0
      =（
      √2
      ，0，0），
      ∵
      MN
      ?
      n0
      =0，M点不在平面CDD1C1内
      ∴，MN∥面CDD      1C1；
      （2）设MN=y，y=f（x）=
      √x2-2x+2
      ，x∈[0.
      √2
      ]
      （3）f（x）=
      √x2-2x+2
      =
      √(x-1)2+1
      ，x∈[0.
      √2
      ]
      根据二次函数的单调性可知：x=1时，最小值为1
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