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  • 设函数y=f（x），（x∈R*）对于任意实数x1、x2∈R*，都满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1（1）求证：f（1）=0（2）求f(116)的值（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x），（x∈R*）对于任意实数x1、x2∈R*，都满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1
      （1）求证：f（1）=0
      （2）求f(
      1
      16
      )的值
      （3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

      试题解答

      见解析
      解；（1）证明：∵函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
      令x      1=x2=1，得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
      （2）函数f（x）满足f（x      1x2）=f（x1）+f（x2），
      令x      1=x2=4，就可求出f（16）的值，得f（16）=f（4）+f（4）=1+1=2
      再令x      1=x2=
      1
      16
      ，得，f(1)=f(16×
      1
      16
      )=f(16)+f(
      1
      16
      )
      ∴f(
      1
      16
      )=-2
      （3）先证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性
      设0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1有f(
      x2
      x1
      )＞0，而f(x2)=f(
      x2
      x1
      ?x1)=f(
      x2
      x1
      )+f(x1)
      所以有f（x      1）＜f（x2），从而函数f（x）在（0，+∞???上是增函数，而不等式 f（x）+f（x-3）≤1等价于
      {
      f[x(x-3)]≤f(4)
      x＞0
      x-3＞0
      也即是
      {
      x(x-3)≤4
      x＞0
      x-3＞0

      解得x∈（3，4]
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