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已知f(x)=ax-a-x(a>0且a???1)(1)证明函数f(x)是奇函数;(2)讨论函数f(x)的单调性,并加以证明;(3)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为32,求此时a的值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)=a
x
-a
-x
(a>0且a???1)
(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)讨论函数f(x)的单调性,并加以证明;
(3)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为
3
2
,求此时a的值.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=a
x
-a
-x
(a>0且a≠1),x∈R,
∴任取x∈R,都有f(-x)=a
-x
-a
x
=-(a
x
-a
-x
)=-f(x),
∴函数f(x)是R上的奇函数;
(2)a>1时,f(x)是增函数;0<a<1时,f(x)是减函数;
证明如下:∵f(x)=a
x
-a
-x
(a>0且a≠1),x∈R,
∴f′(x)=a
x
lna-a
-x
lna?(-1)=
a
2x
+1
a
x
?lna;
当a>1时,a
x
>0,lna>0,a
2x
>0,???a
2x
+1>0,∴f′(x)>0,f(x)是增函数;
当0<a<1时,a
x
>0,lna<0,a
2x
>0,∴a
2x
+1>0,∴f′(x)<0,f(x)是减函数;
综上,a>1时,f(x)是增函数;0<a<1时,f(x)是减函数;
(3)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为
3
2
,若a>1,则f(x)是增函数,∴f(2)=a
2
-a
-2
=
3
2
,解得a=
√
2
;
0<a<1时,f(x)是减函数,∴f(1)=a-a
-1
=
3
2
,解得a=2或a=-
1
2
,不满足条件,舍去;
综上,a的值为
√
2
.
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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