试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • （理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)=logax-5x+5（1）讨论函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性，并给予证明；（2）设g（x）=1+loga（x-3），如果方程f（x）=g（x）有实数解，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)=loga
      x-5
      x+5

      （1）讨论函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性，并给予证明；
      （2）设g（x）=1+log      a（x-3），如果方程f（x）=g（x）有实数解，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设t=
      x-5
      x+5
      ，任取x2＜x1＜-5，则
      t      2-t1=
      x2-5
      x2+5
      -
      x1-5
      x1+5

      =
      (x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)
      (x2+5)(x1+5)

      =
      10( x2-x1)
      (x2+5)(x1+5)
      ．
      ∵x      1＜-5，x2＜-5，x2＜x1，
      ∴x      1+5＜0，x2+5＜0，x2-x1＜0．
      ∴
      10(x2-x1)
      (x2+5)(x1+5)
      ＜0，即t2＜t1．
      当a＞1时，y=log      ax是增函数，∴logat2＜logat1，即f（x2）＜f（x1）；
      当0＜a＜1时，y=log      ax是减函数，∴logat2＞logat1，即f（x2）＞f（x1）．
      综上可知，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，-5）为增函数；
      当0＜a＜1时，f（x）在区间（-∞，-5）为减函数．
      （2）g（x）=1+log      a（x-3）=logaa（x-3），
      方程f（x）=g（x）等价于：
      {
      a(x-3)=
      x-5
      x+5
      x＞3
      x＜-5或x＞5

      即方程a=
      x-5
      (x+5)(x-3)
      在区间（5，+∞）上有解，
      ∵[
      x-5
      (x+5)(x-3)
      ] /=
      -x2+10x-5
      (x+5) 2(x-3) 2
      =
      -[x-(5-2
      √5
      )][x-(5+2
      √5
      )]
      (x+5)(x-3)

      ∴函数F（x）=
      x-5
      (x+5)(x-3)
      在区间（5，5+2
      √5
      ）上导数大于零，在区间（5+2
      √5
      ，+∞）导数小于零
      可得F（x）=
      x-5
      (x+5)(x-3)
      在区间（5，5+2
      √5
      ）上单调增，在区间（5+2
      √5
      ，+∞）单调减
      ∴F（x）的最大值为F（5+2
      √5
      ）=
      3-
      √5
      16
      ，而F（x）的最小值大于F（5）=0
      要使方程方程a=
      x-5
      (x+5)(x-3)
      在区间（5，+∞）上有解，必须a∈（0，
      3-
      √5
      16
      ]
      所以a的取值范围是：（0，
      3-
      √5
      16
      ]
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn