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  • 集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；②函数f（x）的值域是[-2，4）；③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，分别探究下列小题：（1）判断函数f1（x）=√x-2（x≥0）及f2（x）=4-6?（12）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论．（3）g（x）=x+2a f1（x）求g（x）的最小值用a表示．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：
      ①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；
      ②函数f（x）的值域是[-2，4）；
      ③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，分别探究下列小题：
      （1）判断函数f      1（x）=
      √x
      -2（x≥0）及f2（x）=4-6?（
      1
      2
      ）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；
      （2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论．
      （3）g（x）=x+2a f      1（x）求g（x）的最小值用a表示．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f1（x）=
      √x
      -2（x≥0），它的值域是[-2，+∞），∴f1（x）?A；
      对于f      2（x）=4-6?(
      1
      2
      )x（x≥0），定义域为[0，+∞），满足条件①；
      当x≥0时，      (
      1
      2
      )x∈（0，1]，
      ∴4-6?      (
      1
      2
      )x∈[-2，4），满足条件②；
      又∵x≥0时，y=      (
      1
      2
      )x是减函数，
      ∴f      2（x）=4-6?(
      1
      2
      )x是增函数，满足条件③；
      ∴f      2（x）属于集合A．
      （2）f      2（x）属于集合A，原不等式可化为4-6?(
      1
      2
      )x+4-6?(
      1
      2
      )x+2＜2[4-6?(
      1
      2
      )x+1]对任意x≥0总成立；
      证明：由（1）知，f      2（x）属于集合A．
      ∴原不等式化为4-6?      (
      1
      2
      )x+4-6?(
      1
      2
      )x+2＜2[4-6?(
      1
      2
      )x+1]，
      整理为：-
      3
      2
      ?(
      1
      2
      )x＜0；
      ∵对任意x≥0，      (
      1
      2
      )x＞0恒成立，
      ∴原不等式对任意x≥0总成立．
      （3）∵函数f      1（x）=
      √x
      -2（x≥0），
      ∴g（x）=x+2a f      1（x）=x+2a（
      √x
      -2）=x+2a
      √x
      -4a=(
      √x
      +a)2-4a-a2；
      当a≥0时，g（x）      min=g（0）=-4a，
      当a＜0时，g（x）      min=g（a2）=-4a-a2；
      ∴g（x）的最小值是g（x）      min=
      {
      -4a…(a≥0)
      -4a-a2…(a＜0)
      ．
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