设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1；（2）F（x）在定义域A上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=a^f（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．求证：
（1）f（x）＜0时，F（x）＜1；
（2）F（x）在定义域A上是减函数．

试题解答

见解析

证明：（1）∵f（x）＞0时，F（x）=a^f（x）＞1，
∴a＞1
则f（x）＜0时，-f（x）＞0…（2分）
∴a^-f（x）＞1
∴

a^f(x)

＞1
∴0＜a^f（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）设x₁＜x₂，x₁，x₂∈A…（5分）
∵f（x）在A上为减函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
而F（x₂）-F（x₁）=a^f（x₂）-a^f（x₁）=a^f（x₁）[a^{f（x₂）-f（x₁）}-1]…（8分）
∵a＞0，
∴a^f（x₁）＞0，且当f（x₂）-f（x₁）＜0
而f（x）＜0时，F（x）＜1
∴a^{f（x₂）-f（x₁）}＜1
∴F（x₂）-F（x₁）＜0，∴F（x₂）＜F（x₁）
∴F（x）在定义域A上是减函数…（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1；（2）F（x）在定义域A上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

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