设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．（1）求f（0）；（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．

试题解答

见解析

解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）?f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），故f（0）=1．
（2）由于f(x)=f²(

)≥0，假设存在t，使f（t）=0，则f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，与题设矛盾，所以f（x）＞0．
设x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）为单调递增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．（1）求f（0）；（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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