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已知函数f(x)满足f( loga x)=aa2-1(x-x-1),其中a>0,a≠1.(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)若函数f(x)的定义域为(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)满足f( log
a
x)=
a
a
2
-1
(x-x
-1
),其中a>0,a≠1.
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)若函数f(x)的定义域为(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m
2
)<0,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)令log
a
x=t,则x=a
t
所以f(t)=
a
a
2
-1
(a
t
-a
-t
),
∴f(x)=
a
a
2
-1
(a
x
-a
-x
),
任取x
1
<x
2
,
f(x
1
)-f(x
2
)=
a
a
2
-1
[(a
x
1
-a
-x
1
)-(a
x
2
-a
-x
2
)]
=
a
a
2
-1
[(a
x
1
-a
x
2
)-(a
-x
2
-a
-x
1
)]
=
a
a
2
-1
[(a
x
1
-a
x
2
)(1+a
-x
2
-a
-x
1
)]
当a>1时,f(x
1
)-f(x
2
)<0,f(x)为R上的增函数;
当0<a<1时,f(x
1
)-f(x
2
)<0,f(x)也为R上的增函数;
(2)定义域关于原点对称,f(-x)=
a
a
2
-1
(a
-x
-a
x
)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
因为函数f(x)的定义域是(-1,1)
所以有-1<1-m<1 ①
-1<1-m
2
<1 ②
又f(x)是奇函数,所以f(1-m)+f(1-m
2
)>0可变为f(1-m)>f(m
2
-1)
又f(x)在(-1,1)内是减函数,所以1-m<m
2
-1 ③
由①、②、③得 1<m<
√
2
.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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