定义域在R上的函数f（x）对于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，当x＞0时，f（x）＞0．（1）判断并证明函数f（x）的单调性和奇偶性；（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．试题及答案-单选题-云返教育

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定义域在R上的函数f（x）对于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性和奇偶性；
（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．

试题解答

见解析

解：（1）令x=y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴y=f（x）为奇函数．
任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．f（x₂）-f（x₁）=f（x₂???+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴y=f（x）在R上增函数
（2）∵f（2）=3
∴6=f（2）+f（2）=f（4）
∴f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）
∴f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4）
∴|x-5|-|2x+3|＜4
∴

{	x≥5 x-5-(2x+3)＜4

?x≥5
或

{

x≤-

5-x+2x+3＜4

?x＜-4
或

{

＜x＜5

5-x-(2x+3)＜4

＜x＜5
综上知，x＞-

或x＜-4．

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必修1 人教A版单选题高中数学

定义域在R上的函数f（x）对于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，当x＞0时，f（x）＞0．（1）判断并证明函数f（x）的单调性和奇偶性；（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．试题及答案-单选题-云返教育

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