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  • 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2+1x．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2+
      1
      x
      ．
      （Ⅰ）求f（x）的表达式；
      （Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
      ∴对定义域R内任意的x，都有f（-x）=-f（x）--（1分）
      令x=0得，f（0）=-f（0），即f（0）=0--------------（3分）
      又当x＞0时，-x＜0，此时f(x)=-f(-x)=-[(-x)      2+(
      1
      -x
      )]=-x2+
      1
      x
      ---（5分）
      综合可得：f(x)=
      {
      x2+
      1
      x
      ，x＜0
      0，x=0
      -x2+
      1
      x
      ，x＞0
      --------（7分）
      （Ⅱ） 函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，下面给予证明．-----------（8分）
      设0＜x      1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(-x
      2
      1
      +
      1
      x1
      )-(-x
      2
      2
      +
      1
      x2
      )
      =(x      2-x1)?(x2+x1+
      1
      x1x2
      )-----（10分）
      ∵0＜x      1＜x2，
      ∴      x2-x1＞0，x2+x1＞0，
      1
      x1x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）---（13分）
      故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．------------（14分）
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