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  • （1）写出下列函数的单调区间：①y=-x2+2|x|+1；②y=|-x2+2x+3|（2）函数f(x)={ax2+1，x≥0(a2-1)eax，x＜0在R上单调，则a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）写出下列函数的单调区间：①y=-x2+2|x|+1；②y=|-x2+2x+3|
      （2）函数f(x)=
      {
      ax2+1，x≥0
      (a2-1)eax，x＜0
      在R上单调，则a的取值范围是          ．

      试题解答

      （-∞，-
      √2
      ]∪（1，
      √2
      ]
      解：（1）①当x≥0时，y=-x2+2|x|+1=y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
      此时函数在[0，1]单调递增，在[1，+∞）是上单调递减．
      当x＜0时，y=-x      2+2|x|+1=y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，
      此时函数在[-1，0）单调递减，在（-∞，-1）是上单调递增．
      ∴函数的增区间为[0，1]和（-∞，-1），函数的减区间为[-1，0）和[1，+∞）．
      ②原函数可化为：y=|-x      2+2x+3|=|x2-2x-3|，
      当x      2-2x-3≥0，即x≥3或x≤-1，y=|x2-2x-3|=x2-2x-3，
      此时可得函数在[3，+∞）单调递增，在（-∞，-1]单调递减，
      当x      2-2x-3＜0，即-1＜x＜1，y=|x2-2x-3|=-x2+2x+3，
      此时可得函数在（-1，1]单调递增，在[1，3）单调递减，
      ∴函数的增区间为[3，+∞）和（-1，1]，函数的减区间为（-∞，-1]和[1，3）
      （2）若函数在R上单调递减，则
      {
      a＜0
      a2-1＞0
      (a2-1)e0≥1
      ，解得a≤-
      √2
      ，
      若函数在R上单调递增，则
      {
      a＞0
      a2-1＞0
      (a2-1)e0≤1
      ，解得1＜a≤
      √2
      ，
      ∴a的取值范围是（-∞，-
      √2
      ]∪（1，
      √2
      ]
      故答案为：（-∞，-
      √2
      ]∪（1，
      √2
      ]
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