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  • 已知函数f(x)=1a-1x(a＞0，x＞0)．（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）当a=25时，求函数在[12，2)上的最值；（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      a
      -
      1
      x
      (a＞0，x＞0)．
      （1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
      （2）当a=
      2
      5
      时，求函数在[
      1
      2
      ，2)上的最值；
      （3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：设x1＜x2且x1，x2∈（0，+∞），则x2-x1＞0，x1x2＞0．（1分）
      ∵f（x      2）-f（x1）═(
      1
      a
      -
      1
      x2
      )-(
      1
      a
      -
      1
      x1
      )=
      x2-x1
      x2x1
      ＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1）．（3分）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
      （2）当a=
      2
      5
      时，f(x)=
      5
      2
      -
      1
      x
      (x＞0)；
      由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
      ∴
      1
      2
      ≤f(x)＜2（7分）
      ∴f（x）的最小值为
      1
      2
      ，此时x=
      1
      2
      ；无最大值．（8分）
      （3）依题意，
      1
      a
      -
      1
      x
      ≥3，即
      1
      a
      ≥
      1
      x
      +3在[1，2]上恒成立．
      ∵函数g(x)=
      1
      x
      +3在[1，2]上单调递减，∴g（x）max=4（11分）
      ∴
      1
      a
      ≥4，又a＞0．∴0＜a≤
      1
      4
      ，a的取值范围是(0，
      1
      4
      ]．（14分）
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