已知m为常数，函数f(x)=m-2x1+m?2x为奇函数．（1）求m的值；（2）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（x2-2x-k）+f（2）≤0，求实数k的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知m为常数，函数f(x)=

m-2^x

1+m?2^x

为奇函数．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（x²-2x-k）+f（2）≤0，求实数k的最大值．

见解析

解：（1）∵函数f(x)=

m-2^x

1+m?2^x

为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，得

m-2^-x

1+m?2^-x

m-2^x

1+m?2^x

=0，
∴整理得（m²-1）（2^x+2^-x）=0恒成立，
即m²=1，∴m=±1．
（2）∵m＞0，∴m=1，
此时函数f（x）=

1-2^x

1+2^x

在R上单调递减．
（3）∵f（x²-2x-k）+f（2）≤0，
∴f（x²-2x-k）≤-f（2）=f（-2），
∵函数f（x）=

1-2^x

1+2^x

在R上单调递减．
∴x²-2x-k≥-2，
即k≤x²-2x+2．
而g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈[-2，2]，
∴当x=-2时，g（x）有最大值g（-2）=10．
∴k≤10，从而k_max=10．

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