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已知函数.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(Ⅱ)证明:对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数
.
(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)证明:对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>
.
试题解答
见解析
(Ⅰ)设x
1
,x
2
为任意两个实数,且x
1
<x
2
,而f(x)=
=1-
,利用作差证明f(x
2
)>f(x
1
)即可;
(Ⅱ)要证f(n)>
(n∈N,n≥3),即要证1-
,即要证2
n
-1>2n(n≥3).用数学归纳法即可证明;
(Ⅰ)证明:设x
1
,x
2
为任意两个实数,且x
1
<x
2
,
f(x)=
=1-
,
f(x
2
)-f(x
1
)=
=
,
由指数函数性质知,
>0,
>0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,
故f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)要证f(n)>
(n∈N,n≥3),即要证1-
,
即要证2
n
-1>2n(n≥3).①
现用数学归纳法证明①式.
(1)当n=3时,左边=2
3
-1=7,右边=2×3=6,
∴左边>右边,因而当n=3时①式成立.
(2)假设当n=k(k≥3)时①式成立,即有2
k
-1>2k,那么
2
k+1
-1=2?2
k
-1=2(2
k
-1)+1>2?2k+1=2(k+1)+(2k-1),
∵k≥3,∴2k-1>0.
∴2
k+1
-1>2(k+1).
这就是说,当n=k+1时①式成立.
根据(1)(2)可知,①式对于任意不小于3的自然数n都成立.
由此有f(n)>
.(n≥3,n∈N).
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